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Mathematisches Modell

Kräfte am Modell

Kräfte am Modell

Grundgedanke

Das inverse Pendel lässt sich zerlegen in 3 Teilsystem:

  • Motor
  • Pendelwagen
  • Pendelstab

Die Teilsysteme Pendelwagen und Pendelstab sind miteinander verkoppelt, da eine Bewegung des Pendelwagens immer eine Bewegung des Pendelstabes nach sich zieht. Wenn der Motor keine Kraft aufbringt, so wird sich umgekehrt bei genügend kleiner Reibung eine Bewegung des Pendelstabes auf die Position des Wagens auswirken. Die Beschreibung des Systems erfolgt mit 5 Zustandsgrößen:

  • Motorkraft FM(t)
  • Position bzw. Weg s(t) des Pendelwagens
  • Geschwindigkeit v(t) des Pendelwagens
  • Auslenkungswinkel des Pendelstabes φ(t)
  • Winkelgeschwindigkeit des Pendelstabes α(t)
Aufbau des Systems Invertiertes Pendel

Aufbau des Systems Invertiertes Pendel

Zur Entwicklung des mathematischen Modells wird von zwei Bilanzgleichungen ausgegangen, der Kräftebilanz in horizontaler Richtung und der Bilanz der Drehmomente, jeweils am Drehgelenk des Wagens.

∑Fi=0
∑Mi=0

 

Vereinfachungen

Zur einfachen Ermittlung des Masseträgheitsmomentes des Pendels wird eine Punktmasse angesetzt, das Trägheitsmoment des Pendelstabes wird vernachlässigt. Das dynamische Verhalten des Motors wird als PT1-Verhalten approximiert. Die Reibungskraft für Translation bzw. Rotation wird mit dem Reibungsfaktor k vereinfacht proportional zur Geschwindigkeit bzw. zur Winkelgeschwindigkeit angenommen.
 

Das Differentialgleichungssystem

Aus diesen Ansätzen entsteht je eine Gleichung zur Beschreibung der Beschleunigung und der Winkelbeschleunigung. Mit dem Übertragungsverhalten des Motors ergibt sich ein verkettetes Differentialgleichungssystem 5.Ordnung:

Differenzialgleichungssystem

Differenzialgleichungssystem

Aktualisiert: 24.01.2019